Sistemes iterats de semblances
Vegem breuement com un algoritme probabilista pot produir un patró fractal.
Comencem amb les semblances
z -> f1(z) i z-> f2(z).
L'algoritme funciona de la manera següent: Comencem amb un punt arbitrari z0 del pla.
Escollim aleatòriament una de las transformacions f1(z) o f2(z)
de manera equiprobable (probabilitat 0.5 per a cadascuna) i apliquem-la a z0.
Dibuixem el punt resultant i procedim iterativament amb aquest nou punt un gran nombre de vegades.
Un procés similar es pot aplicar a una llista de transformacions f1, f2,... fk.
Un programa d'ordinador per efectuar aquest procés es pot descriure com segueix:
z = inici;
n=nombre d'iteracions;
repetir n vegades: (
f = resultat d'escollir aleatòriament entre f_1, f_2,... f_k;
z=f(z);
dibuixar(z);
)
És una bona pràctica no dibuixar els primers 100 punts d'aquest procés, ja que poden no estar suficientement
prop del fractal que s'obté amb el procés.
En l'applet que segueix, es pot obsservar el procés.
El nombre d'iteracions es pot ajustar amb el cursor.
El fractal emergeix quand el nombre de transformacions és gran.
Fins i tot les trasformacions més simples creen patrons interessants.
Considerem, per exemple, la transformació
fp(z):=(z+p)/2
que transforma z en el punto mitjà del segment d'extrems z i p.
L'exemple que segueix mostra el procés que s'obté amb tres d'aquestes aplicacions: fa(z), fb(z), fc(z).
El fractal que apareix és l'anomenat triangle de Sierpinski.