IFS aus zwei Ähnlichkeitstransformationen
Wir erläutern kurz, wie der Algorithmus zum randomisierten Erzeugen
eines Fraktals funktioniert. Randomisiert heisst "vom Zufall
gesteuert", und in der Tat nutzt der Algorithmus als entscheidendes Element
Zufallsstrukturen.
Nehmen wir an, wir haben zwei Drehstreckungen
z -> f1(z) und z-> f2(z)
gegeben. Der Algorithmus funktioniert dann wie folgt: Ausgehend von einem
beliebigen Startpunkt z0 wird zufällig (sagen
wir mit einer 50:50-Wahrscheinlichkeit) eine der beiden Abbildungen f1(z)
oder f2(z) gewählt und der Bildpunkt z1 berechnet.
Dieser Punkt wird nun gezeichnet und dient als Startpunkt für die nächste
Iteration. Man wählt also wieder eine der beiden Abbildungen zufällig
aus, bildet ab (das Ergebnis ist z2 und zeichnet den Punkt. Das Ganze
wiederholt man viele, viele Male. Es entsteht eine Punktewolke die ungefähr
so aussehen wird, wie die Grenzpunktmenge.
Das Ganze funktioniert dabei nicht nur mit zwei Abbildungen, sondern im Prinzip mit beliebig vielen. Schreibt man das Verfahren als Computerprogramm auf, so sieht das für Transformationen f_1, f_2,... f_k ungefähr folgenderma§en aus.
z=startpunkt;
n=Anzahl der Iterationen;
wiederhole n-mal: (
f=Eine zufÄllige Transformation aus f_1, f_2,... f_k;
z=f(z);
zeichne(z);
)
Die einzelnen Befehle müssen natürlich an den Syntax der jeweiligen
Programmiersprache angeglichen weden.
Eine Feinheit blieb bisher noch unerwähnt. Da der Startpunkt ja zufällig
gewählt war, kann man nicht erwarten, dass sich gleich die ersten paar
Punkte in der Nähe der Grenzpunktmenge befinden. Daher ignoriert man üblicherweise
die ersten circa 100 Punkte.
Das folgende Applet demonstriert am Beispiel der im letzen Kapitel betrachteten
Abbildungen die Erzeugung des IFS. Die Abbildungen f1, f2 seien dabei
bereits vorher festgelegt. Mit dem Schieberegler kann man die Zahl der verwendeten
Iterationen einstellen. Man beobachtet, dass für kleine Punktanzahlen zunächst
noch keine Struktur erkennbar ist, dass sich aber für gro§e Punktmengen
deutlich die Struktur der Grenzpunktmenge abzeichnet.
Selbst aus sehr einfachen Transformationen lassen sich bereits interessante
Grenzpunktmengen erzeugen. Betrachten wir zum Beispiel für einen gegebenen
Punkt p die Transformation
fp(z):=(z+p)/2
die den Punkt z auf die Mitte zwischen p und z abbildet. In anderen Worten:
fp ist eine Stauchung um den Faktor 2 mit Stauchungszentrum p. Das
folgende Beispiel zeigt, was herauskommt, wenn man aus drei solchen Stauchungen
fa(z), fb(z), fc(z) ein iteriertes Funktionensystem
bildet. Die entstehende Grenzpunktmenge ist ein bekanntes Fraktal, das so genannte
Sierpinski-Dreieck.