Winkelspiegel
Bisher haben wir nur Transformationen miteinander verknüpft, die die
Grösse der Objekte nicht verändert haben. Drehstreckungen und Kreisinversionen
kommen in Ornamentgruppen explizit nicht vor. Das hat auch einen guten Grund:
Wenn die Grö§e eines Objektes durch die Transformation nicht erhalten bleibt,
ist es schwierig, die Transformationen so anzuordnen, dass die entstehenden
Strukturen nicht chaotisch werden.
Wenn kein Chaos entsteht, können sich aber sehr ästhetische Strukturen
bilden. Das folgende Applet zeigt, was passiert, wenn man zwei Drehstauchungen
miteinander auf alle erdenklichen Arten und Weisen miteinander verknüpft.
Die Abbildungen sind durch die Position der drei Punkte A, B und C definiert.
Die erste Abbildung bildet die Strecke AB auf die Strecke AC ab. Die zweite
Abbildung bildet die Strecke AB auf die Strecke CB ab (jeweils ohne dabei die
Orientierung zu vertauschen).
Im Applet kann man am wei§en Schieberegler die Anzahl der verketteten Operationen verändern. Natürlich ist ebenso die Position der Punkte
A, B, C und die Position von Dr. Stickler veränderbar.
Im folgenden Applet ist an den einzelnen Bildern von Dr. Stickler
notiert, durch welche hintereinander ausgeführten Transformationen sie
entstehen. Führt man beispielsweise die Transformation 1 wiederholt hintereinander
aus, so winden sich die Bilder spiralförmig um den Punkt A. Führt
man Transformation 2 wiederholt aus, so winden sich die Bilder spiralförmig
um den Punkt B.
Je tiefer man iteriert, desto kleiner und kleiner werden die Kopien von
Dr. Stickler. In der Tat ist die Position der tief iterierten Kopien
nur noch unwesentlich von der Ursprungsposition Dr. Sticklers abhängig
(ausprobieren!). Die Kopien werden gegen eine bestimmte Menge von Punkten gezogen,
die ausschiesslich von den verwendeten Transformationen abhängt, die so
genannte Grenzpunktmenge. Das Studium von Grenzpunktmengen
für iterierte Möbiustransformationen ist eines der Hauptthemen von
Indra's Pearls.