Matematica del pianeta Terra
Considera un ecosistema in cui ci sono solo due tipi di popolazioni: prede e predatori. Il modello descritto dalle equazioni di Lotka-Volterra è fondato su tre assuzioni:
1) Le prede non hanno problemi di cibo. Quindi la velocità di crescita delle prede aumenta con l'aumentare del numero delle prede.
2) Più prede ci sono, più è facile per un predatore trovarle. Più predatori ci sono più è facile che una preda sia mangiata. Quindi la probabilità che un predatore mangi aumenta con l’aumentare del prodotto di prede e predatori
3) I predatori sono in competizione l'uno con l'altro. Quindi la velocità di crescita dei predatori diminuisce con l''aumentare del numero dei predatori.
Il modello è descritto da due equazioni del tipo:
x'=Ax-Bxy,
y'=Cxy-Dy,
dove x rappresenta il numero di prede, y quello dei predatori e x’ ed y’ i rispettivi tassi di crescita e dove “A”, “B”, “C” e “D” sono parametri positivi che dipendono dalla situazione in esame. “A” esprime il tasso di riproduzione delle prede ed è legato all’ipotesi (1). “B” è legato all’uccisione delle prede da parte dei predatori e “C” è legato al tasso di attacchi riusciti dei predatori sulle prede. “B” e “C” sono legati all’ipotesi (2). “D” esprime il fatto che, se il numero di predatori è molto alto, allora essi potrebbero non trovare cibo sufficiente e quindi morire di fame; è legato all'ipotesi (3).
La terra si comporta in maniera molto complessa: ogni azione, per quanto piccola, interferisce con le altre in una dinamica complessa. Questa è molto difficile da studiare, così, spesso, si assume che la natura si comporti in maniera “locale”: un fenomeno viene studiato considerando solamente quello che accade nelle vicinanze e dimenticandosi di tutto il resto.
Negli anni Cinquanta del Novecento, per studiare comportamenti di questo genere, John von Neumann (1903-1957) e Stanislaw Ulam (1909-1984) introdussero gli automi cellulari, strumenti che si rivelarono molto utili per studiare dinamiche naturali, con molte applicazioni per esempio in medicina e nell’informatica.
Astrattamente, un automa cellulare è costituito da una griglia di celle. Ogni cella ha uno stato, scelto da un insieme di casi possibili; per esempio questo stato può essere “acceso” - 1 oppure “spento” - 0. Si definisce, per ogni cella, un insieme di celle “vicine ad essa”.
L’evoluzione di un automa cellulare è descritta da delle regole, che permettono di passare dall’istante iniziale - o stato 0 - agli stati successivi.
L’automa cellulare qui presentato è formato da una singola riga di celle. Lo stato di una cella può essere “0” oppure “1” e i vicini di una cella sono la cella stessa e le celle che si trovano a destra e a sinistra di questa. La regola di evoluzione è descritta dal comportamento di una cella in base alle 8 possibili condizione delle celle vicine.
L’evoluzione è rappresentata su una griglia in cui ogni riga corrisponde a un istante.
Un indovinello molto famoso dice: un cacciatore vide un orso 100 metri più a est, si spostò verso nord di 100 metri, sparò dritto verso sud e colpì l'animale. Di che colore era l'orso?
Dov'è il trucco? Esatto, ci troviamo al polo nord e quindi l'idea intuitiva dei quattro punti cardinali, solitamente associati ai concetti di "avanti, indietro, destra, sinistra" non funziona più: al polo nord tutte le direzioni sono il sud e, viceversa, al polo sud tutte le direzioni sono il nord. Questo deriva dal modo che utilizziamo per orientarci sul pianeta Terra.
Se facciamo attenzione noteremo una sostanziale differenza tra i meridiani, che seguono la direzione nord-sud e i paralleli, che seguono la direzione est-ovest. Se un aereo dovesse collegare due città poste sullo stesso meridiano si muoverebbe su una rotta che seguirebbe proprio il meridiano di collegamento, mentre se dovesse collegare due città poste sullo stesso parallelo seguirebbe una rotta completamente diversa (a meno che il parallelo non sia l'equatore!)
E se dovessimo riportare queste rotte su una cartina? Uscirebbero linee rette? Come tracciare in modo preciso rotte aeree e nautiche su una mappa del pianeta Terra? Quale mappa sarebbe preferibile? Esiste una “mappa perfetta” che possa rappresentare la Terra senza distorcere aree, angoli o distanze? E, nella realtà, qual è la via più breve per collegare due punti sul pianeta? Qual è invece la strada che permette di evitare virate?
Questi problemi hanno interessato navigatori, espoloratori e matematici per secoli.
Gli scienziati devono affrontare giornalmente un problema: raccolgono una grande quantità di dati e hanno bisogno di strumenti che gli permettano di elaborarli e di presentarli al grande pubblico, in modo chiaro e conciso.
Partendo dalle rilevazioni effettuate dall’ARPA (Agenzia Regionale per la Protezione dell’Ambiente) della regione italiana della Lombardia abbiamo realizzato queste applicazioni per far comprendere questa problematica e come la matematica fornisca un aiuto nel risolverla. Ci sono state fornite le temperature orarie registrate dal 1990 al 2012 da una centralina posta a Milano. In totale abbiamo ben 192.840 dati!
Con la prima applicazione potete sperimentare voi stessi il problema: scegliete un intervallo di tempo e visualizzate l’andamento delle temperature. Vedrete anche le massime e le minime per il periodo che avete scelto.
Con la seconda applicazione potete applicare nozioni di base di statistica calcolando medie massimi e minimi su diverse scale temporali. Si può visualizzare anche la retta dei minimi quadrati, una retta che ha la proprietà di stimare i dati in modo che i valori effettivi raccolti si discostino complessivamente il minimo possibile da quelli assunti dalla retta.
Questa animazione interattiva è ispirata all'automa cellulare Wator. L'automa è stato realizzato dal matematico canadese Alexander Keewatin Dewdney e presentato nell'articolo "Computer Recreations: Sharks and fish wage an ecological war on the toroidal planet Wa-Tor". La parola “Wa-Tor” deriva dalle parole “Water” e “Toro”, il nome matematico per una superficie a forma di ciambella.
Le differenze tra l'originale automa Wator e il nostro modello servono per avere più libertà nella scelta dei parametri che regolano l'evoluzione del sistema.
Ogni animale occupa una cella di una griglia rettangolare e può muoversi nelle celle adiacenti (scelte, eventualmente, dall’utente) seguendo alcune semplici regole.
Un animale della prima specie (pesce), visualizzato con il colore verde, si muove casualmente in una cella vuota vicina a lui. Dopo un certo lasso di tempo da vita a un altro pesce e, infine, muore.
Un animale della seconda specie (squalo), visualizzato con il colore rosso, mangia casualmente un pesce nelle sue vicinanze; se non ci sono pesci si muove casualmente in una cella vuota. Dopo un certo lasso di tempo da vita a un altro squalo. Se non riesce a mangiare abbastanza muore.
