Harmonic Art
평면에서의 그래프(graph)는 선분들로 이어진 점들의 집합입니다. 만약 두 점이 선분들로 연결되어 있으면 그들은 이웃이라 불립니다. 조화 그래프(harmonic graph)는 각 점이 그 점의 이웃들의 무게중심(barycenter)인 그래프입니다. 비록 이름과는 관계가 없는 성질이지만, 조화그래프는 대개 “조화롭게” 보입니다.
이 갤러리의 그림들은 조화 무작위 그래프 연구의 결과입니다. 평면에서 임의의 점 집합이 주어졌을 때 우리는 가까운 점들을 연결하는 그래프를 만들 수 있습니다. 점들을 많이 움직이지 않고 이 그래프를 조화그래프로 바꿀 수 있을까요? 이 질문의 해법은 확률론과 다른 분야에 중요한 영향을 끼쳤습니다. 더 많은 정보는 링크를 참조하세요.
Harmonic Voronoi Tessellation
이것은 무작위 조화 그래프의 보로노이(Voronoi) 테셀레이션입니다. 보로노이 테셀레이션은 평면을 여러 개의 영역으로 나누는 한 방법입니다. 평면에서 장소들의 집합이 주어졌을 때, 특정 장소와의 거리가 (다른 장소들보다) 가장 가까운 점들을 모아 놓은 영역을 그 장소에 지정합니다. 이 그림에 있는 선들은 지정된 영역들의 경계벽에 해당합니다.
Harmonic Delaunay Triangulation
이 것은 평면의 무작위 점 집합의 델로네 삼각분할(Delaunay triangulation)에서 얻어진 무작위 조화 그래프입니다. 여기서는 그래프의 이웃을 결정하는 규칙이 델로네 삼각분할로서 나타납니다. 즉 세 점의 외접원이 다른 어떤 점도 포함하지 않으면 이 세 점은 이웃이 됩니다.
Islands or Sea?
이전 그림의 조화 델로네 삼각분할은 각 점이 그 점의 이웃들의 중심이 되도록 만들어졌습니다. 그렇게 하기 위해서 각 점은 원래 위치에서 약간 움직였습니다. 이 그림은 오른쪽으로 움직인 점들은 파란색으로, 왼쪽으로 움직인 점들은 빨간색으로 표현하고 있습니다.
빨간색 영역들이 파란색 바다의 섬일까요? 어쩌면 파란색 영역들이 빨간 바다의 섬일지도 모릅니다.
위에 기술된 두 가지 가설 다 일어나지 않는다는 정리가 있습니다. 모든 영역은 섬이고, 바다는 없습니다. 이 말은 주어진 점에서 같은 색의 영역들을 지나 무수히 멀리 갈 수 없음을 뜻합니다.
