S. Smale은 어떤 점에서도 구김이 없이 구의 안쪽을 바깥쪽으로 뒤집는 것이 수학적으로 가능하다고 증명하였습니다. 수학자 B. Morin은 다른 방식의 뒤집기 방법을 고안하고 이 과정을 묘사하는 구체적인 대수 방정식을 만들었습니다. 곡면을 뒤집을 때에는 곡면의 교차가 횡단성(transversality)을 만족시켜야 하고, 모든 점에서 접평면이 연속적으로 변해야 합니다. 이 조건을 만족할 때 뒤집기가 가능하다고 합니다.

R. Denner의 작품은 이 3차원 문제를 그 형태를 유지하며 2차원 곡면 문제로 바꾸는 것의 어려움을 보여줍니다.