12개의 면과 30개의 모서리 그리고 20개의 꼭지점을 갖는 3차원 정십이면체와 유사한 형상을 4차원에서도 생각할 수 있을까요? ‘120-Cell’ 이라고도 불리는 120개의 정십이면체로 만들어진 정백이십포체가 바로 정십이면체의 4차원 버전입니다. 

정백이십포체는 120개의 ‘면’을 갖는데 4차원에서의 ‘면’은 사실 3차원 도형인 정십이면체 입니다. 즉 정백이십포체는 120개의 정십이면체를 ‘면’ 으로 갖습니다. (3차원에서 ‘면’은 2차원 도형인 ‘평면’ 입니다)

또한 정백이십포체의 면을 이루는 정십이면체의 2차원 ‘면’은 당연히 정오각형이고 720개의 2차원 ‘면’을 가지며 600개의 꼭지점 그리고 1200개의 모서리를 갖습니다.

지금 이 그림은 방금 전 보셨던 ‘정백이십포체’를 극사영으로 보여주는 작품입니다. 물론 우리가 익숙한 3차원 구체를 2차원 평면으로 사영시키는 극사영은 아닙니다. 지금 이 그림은 4차원 구체를 3차원 공간에 사영시킨 모습을 나타냅니다.

이 사영은 120포의 대칭구조를 굉장히 잘 보여줍니다. 또한 그림에서 나타나는 2차원 표면들과 꼭지점들은 모두 3차원 구체들과 원들의 조각들임을 알 수 있습니다.

구 위의 점을 북극으로부터 남극에서 접하는 평면 위로 사영시키는 것을 극사영이라 부릅니다. 

그러면 북극을 제외한 구 위의 모든 점은 평면 위의 점과 일대일 대응이 됩니다. 마지막 남은 북극점은 무한대에 위치한 점에 대응시킬 수 있습니다. 

극사영은 구 위의 원을 평면 위의 원으로 대응시키며 각을 보존합니다.

동역학은 운동에 관한 학문입니다. 위상수학은 모양에 관한 학문입니다. 연산은 숫자에 관한 학문입니다.

종종 연산에서 나오는 개념들이 동역학적 관점을 통해 해석될 수 있고 흥미로운 모양을 만들기도 합니다. 위 그림은 소위 말하는 “모듈러 흐름” 이라는 숫자, 특히 소수를 이해하는데 기본이 되는 개념을 표현한 것입니다.

이 그림을 간단히 몇줄로 설명드리기는 굉장히 어렵습니다. 자세한 내용을 알고싶으시다면 여기 를 참조해 주십시오.

동역학은 운동에 관한 학문입니다. 위상수학은 모양에 관한 학문입니다. 연산은 숫자에 관한 학문입니다.

종종 연산에서 나오는 개념들이 동역학적 관점을 통해 해석될 수 있고 흥미로운 모양을 만들기도 합니다. 위 그림은 소위 말하는 “모듈러 흐름” 이라는 숫자, 특히 소수를 이해하는데 기본이 되는 개념을 표현한 것입니다. 

이 그림을 간단히 몇줄로 설명드리기는 굉장히 어렵습니다. 자세한 내용을 알고싶으시다면 여기 를 참조해 주십시오