동물집단의 진화, 예를 들면 시간에 따른 먹이양, 개체군의 번식력 및 개체수 등의 변화를 연구할때, 추가적으로 집단의 생식력이 주어진 두 값 사이에서 준 주기적으로 변동한다는 조건이 주어진 경우, 동역학계 이론을 사용할 수 있습니다. 그러한 시스템에서는 집단의 생식력에 따라 안정적인 사이클과 카오스적인 진화가 함께 나타날 수 있습니다. 안정성과 카오스는 19세기 말의 러시아 수학자 이름을 딴 리아푸노프 지수라는 것을 계산함으로써 분석할 수 있습니다. 

마르쿠스-리아푸노프 이미지는 가로 및 세로 축을 따라, 생식력 대 리아푸노프 지수를 색상으로 대응시킵니다. 안정성 도메인만이 그려지고, 카오스, 즉 양의 리아푸노프 지수는 암청색으로 표현됩니다. 지수가 0에서 음의 무한대로 변화할 때, 그림자는 어두워집니다. 지수가 0이면, 카오스의 임계값을 의미하고, 색은 갑자기 암청색에서 밝은 그림자로 변합니다. 이 색상을 대응시키는 방법은 임의적이기 때문에 미적 관점 및 고려에 따라 다양하게 선택할 수 있습니다. 현재의 그림은 마르쿠스-리아푸노프의 그림 7점을 재도안하여 중첩시켜 구성한 것입니다.

그림의 프랙탈 이미지는 스티븐 퍼거슨의 프로그램 Flarium24 Windows을 통해 여러가지 방정식을 입력값으로 사용하고 또한 40회의 반복과 다음의 필터를 이용하여 만들어졌습니다:

rr+=atan(fabs(dzy/dzx))*atan(fabs(dzx/dzy))*2 

그 다음에 레오나르도 다빈치가 그의 그림에서 썼던 글꼴과 색채를 모방하여 포토샵으로 작업하였습니다. 그림의 이미지는 매우 수학적인 바탕 위에서 만들어졌지만 이것과는 독립적으로 많은 사람들이 상기 이미지를 미학적으로 매력이 있다고 느낍니다. 

그림 중에 옅은 녹색의 곡면은 세 가지의 직교 평행이동 대칭을 가지고 있는데, 다음의 삼각 방정식에 의해 주어지는 수준곡면입니다:

4*(cos x*cos y+cos y*cos z+cos z*cos x) - 3*cos x *cos y *cos z = -2.4

면과 모서리 부분이 튜브로 연결 되어있는 정육면체가 둘러싸고 있는 공간을 곡면대칭의 기본단위로 생각할 수 있습니다. 이 곡면은 할레대학, 괴팅켄대학 및 베를린 대학의 교수였던 칼 헤르만 아만두스 슈워츠에 의해 1880년에 발견된 최소 P-곡면과 매우 유사합니다. 최근 혼성중합체라는 것을 모델링하기 위해 관련 곡면들을 조사하는 재료과학자들이 자세히 연구하고 있습니다. 데이비드 호프만이 그림의 원형을 제시하였는데, 보다 아름답게 표현하기 위해 질감을 조정하고 배경을 입혔으며 최종적으로 Bryce를 이용해 만들었습니다.

구 사이의 공간을 보면 반사된 이미지들이 3차원 프랙탈을 만듭니다. 이 프랙탈은 와다성질(Wada Property)라는 것을 갖는데, 이런 공간 객체를 연구한 일본의 수학자 Wada 의 이름을 따서 지어졌습니다. 사실 이 성질은 1917년 그의 제자인 Yoneyama에 의해 소개되었으나 그 공로를 스승인 Wada에게 돌렸습니다.

Wada Property는 세 개의 중심이 되는 구 모양의 객체가 반사를 통해 매우 뒤죽박죽되어 한 객체의 경계면 위의 점이 다른 객체의 경계면 위의 점처럼 보이는 이산동역학계(discrete dynamical system)에서의 현상을 말합니다. 위 그림은 Bryce 라는 프로그램을 이용하여 만들어졌습니다. 

이 이미지는 수학자 Richard Palais와 그래픽 아티스트 Luc Benard의 합작품으로 2006 국가과학재단/과학잡지 주관 시각화 경연대회에서 일러스트레이션 분야 최우수상을 수상하였고 2006 과학이슈의 표지이미지로 실렸던 작품입니다. 

그림에서 보여지는 다섯개의 곡면들은 왼쪽 아래부터 시작해서 시계방향의 순서로 각각 클라인 병, 대칭 4-noid, 브리더 곡면, 보이 곡면, 그리고 시버트-엔네퍼 곡면이라 불립니다. 

이 곡면들의 이미지는 Palais가 개발한 프로그램 3D-XplorMath을 사용하여 그린 다음 Luc Bernard가 Bryce라는 프로그램을 이용해서 얻어졌습니다.