Derecesi 6 olan bir polinomu sıfır yapan noktaların kümesine derecesi altı olan bir yüzey ya da kısaca altıgil diyoruz. Resimdeki altıgili Wolf Barth 1996 yılında inşa etmiştir. Burada görülemeyen sonsuz uzaktaki 15 tekilliği de sayarsak, yüzeyin toplam 65 tane tekilliği vardır. 1997 yılında Jaffe ve Ruberman’ın gösterdiği gibi, bir altıgilde olabilecek en fazla tekillik sayısı 65›tir.
Barth’ın buluşu büyük şaşkınlık yarattı çünkü geometriciler uzun yıllardır bir altıgilin 64’ten fazla tekilliğe sahip olamayacağına inanıyordu. Düzgün yirmiyüzlü simetrisi, Barth’ın altıgilinin en çarpıcı yanlarından biridir. Fakat 65 tekillikli altıgillerin hepsi bu simetriye sahip değildir.

Barth’ın altıgili tek değil! 3 parametreyle ifade edilen, her biri 65 tekillikli bir altıgil ailesi bile bulunmaktadır. Bu ailede, bu 3 parametre gelişigüzel seçilebilir ve her defasında 65 tekillikli yeni bir altıgil elde edilir.

Barth’ın altıgilinin tam formülü şöyledir:  P6 − αK2 = 0. Bu eşitlikte P6 = ( τ2x2−y2)( τ2y2−z2)( τ2z2− x2) (derecesi 6 olan bir polinom); τ = (1+√5)/2, yani altın oran; α = (2τ+1)/4=(2+√5)/4; ve K = x2+y2+z2−1, (derecesi 2 olan bir polinom).  K=0 denklemi, yarıçapı 1 olan küreyi tanımlar.

Oliver Labs 2004 yılında Mainz’de doktora tezini yazarken 99 tekilliğe sahip derecesi 7 olan bir yüzey (yedigil) oluşturdu. Derecesi 6 olan yüzeyler için olası en yüksek tekillik sayısının 65 olduğu 1997’den beri biliniyordu. A. N. Varchenko’nun 1982›de elde ettiği bir sonuç, bir yedigilde 104’ten fazla tekillik olamayacağını söylemiştir. 1992’de S. V. Chmutov 93 tekilliğe sahip bir yedigil inşa etti; bu o zaman için bir dünya rekoruydu. Labs’ın rekoru halen kırılamamıştır. 100,101,…,104 tekilliğe sahip yedigillerin olup olamayacağı açık bir problem olarak keşfedilmeyi bekliyor halen.

Labs’ın Yedigili bir düzgün yedigenin simetrilerine sahiptir. Duco Van Straten’in  altıgiller için olan hesaplamalarına benzer şekilde,  her biri 99 tekilliğe sahip yedigillerin oluşturduğu ve 5 parametreyle ifade edilen bir yedigiller ailesinin hesabı yapılabilir. Labs, yedigil inşası için Kaiserslautern Teknik Üniversitesi’nde geliştirilen “Singular” cebirsel yazılımını kullandı. Bu yazılım tekil cebirsel yüzeyler üzerinde çalışmalar üretmek için gayet uygundur.

This surface of degree 5 (quintic) has 15 singularities whose type is called ordinary cusp or A2. The surface is part of a series of related surfaces of infinitely many degrees constructed by Oliver Labs in 2005. As one can see from the picture, five of the singularities look different than the others. These five ones are more specifically of type A2++ and the others of type A2+−. The former can be described locally by the equation x3+y2+z2 = 0, the others by x3+y2−z2 = 0. The equation of the quintic with 15 cusps is S5(x, y)+t(z) = 0, where S5(x, y) = x5−10x3y2+5xy4−5x4−10x2y2− 5y4+20x2+20y2−16 is a regular pentagon, and where the polynomial t(z) = −3z5+10z3−15z−8 is a variant of the so–called Tchebychev Polynomials. 

Equation by W. Barth (1995).
Visualization: Oliver Labs

Equation by E. E. Kummer (1860s).
Visualization: Oliver Labs

Equation: classical (19th century), adapted by Oliver Labs.
Visualization: Oliver Labs