The Italian premiere of a large IMAGINARY exhibition
Oliver Labs
갤러리
Oliver Labs
Oliver Labs는 기하학의 알고리즘적 측면에 전문적인 기하학자 입니다. 그는 흥미로운 곡선과 곡면 그리고 그것들의 시각화와 모든 알고리즘 문제들을 아우르는 관심을 갖고 있습니다. 이 그림들은 놀랍게도 많은 특이점을 갖는 대수곡면들입니다.
공식
- P_6 − αK^2 = 0
- P_6 = ( τ^2x^2−y^2)( τ^2y^2−z^2)( τ^2z^2− x^2), τ = (1+\sqrt{5})/2
- α = (2τ+1)/4=(2+\sqrt{5})/4
- K = x^2+y^2+z^2−1
Barth Sextic
6차 방정식으로 정의된 이 곡면은 1996년 Wolf Barth로부터 만들어졌습니다.
총 65개의 특이점을 가지고 있는데 그 중 15개는 무한히 멀리 떨어져 있어 보이지 않습니다.
1997년에 Jaffe와 Ruberman이 6차 곡면이 가질 수 있는 특이점의 최대 개수가 65개임을 보였습니다.
Barth가 처음 이 곡면을 만들었을 때 많은 수학자들이 놀랐습니다. 왜냐하면 기하학자들은 오랫동안 6차 곡면은 최대 64개의 특이점을 가질 것이라고 믿었기 때문입니다.
Barth sextic의 가장 놀라운 점 중 하나는 정이십면체 대칭성을 가진다는 것입니다.
참고로 65개의 특이점을 가지는 6차 곡면이 다 정이십면체 대칭성을 가지지는 않습니다.
심지어 3개의 매개 변수를 가지면서 65개의 특이점을 가지는 곡면들의 모임도 있습니다.
이 모임에서 거의 무작위로 3개의 매개변수를 골라서 65개의 특이점을 가지는 6차 곡면을 항상 만들 수 있습니다. Barth sextic을 정의하는 방정식은 다음과 같습니다.
(τ2x2−y2)(τ2y2−z2)(τ2z2−x2)−1/4(2τ+1)(x2+y2+z2−1)2 = 0
여기서 τ = 1/2(1+√5) 으로 황금비입니다.
저작권 CC BY-NC-SA-3.0
공식
- x^7-21*x^5*y^2+35*x^3*y^4-7*x*y^6+7*x^6*1+21*x^4*y^2*1+21*x^2*y^4*1+7*y^6*1-57*x^4*1^3-114*x^2*y^2*1^3-57*y^4*1^3+(24/7*a^2+768/49*a+800/7)*x^2*1^5+(24/7*a^2+768/49*a+800/7)*y^2*1^5+(-149808/2401*a^2+3216/343*a-147584/2401)*1^7+(-49*a^2+7*a-52)*x^4*1^2*z+(-98*a^2+14*a-104)*x^2*y^2*1^2*z+(-49*a^2+7*a-52)*y^4*1^2*z+(128/7*a^2+704/49*a+128/7)*x^2*1^4*z+(128/7*a^2+704/49*a+128/7)*y^2*1^4*z+(-1632/343*a^2+16/7*a-192/343)*1^6*z+(-98*a^2+14*a-101)*x^4*1*z^2+(-196*a^2+28*a-202)*x^2*y^2*1*z^2+(-98*a^2+14*a-101)*y^4*1*z^2+(3016/7*a^2-2904/49*a+440)*x^2*1^3*z^2+(3016/7*a^2-2904/49*a+440)*y^2*1^3*z^2+(-17440/343*a^2+416/49*a-17040/343)*1^5*z^2+(-49*a^2+7*a-50)*x^4*z^3+(-98*a^2+14*a-100)*x^2*y^2*z^3+(-49*a^2+7*a-50)*y^4*z^3+(5776/7*a^2-5648/49*a+5888/7)*x^2*1^2*z^3+(5776/7*a^2-5648/49*a+5888/7)*y^2*1^2*z^3+(-313136/343*a^2+6288/49*a-319264/343)*1^4*z^3+(3680/7*a^2-3608/49*a+536)*x^2*1*z^4+(3680/7*a^2-3608/49*a+536)*y^2*1*z^4+(-592240/343*a^2+11856/49*a-603856/343)*1^3*z^4+(816/7*a^2-800/49*a+832/7)*x^2*z^5+(816/7*a^2-800/49*a+832/7)*y^2*z^5+(-458832/343*a^2+1312/7*a-467840/343)*1^2*z^5+(-166272/343*a^2+3328/49*a-169536/343)*1*z^6+(-166272/2401*a^2+3328/343*a-169536/2401)*z^7
Labs Septic
2004년에 Oliver Labs가 박사 학위 논문을 쓰던 중에 99개의 특이점을 가지는 7차 곡면을 만들었습니다. 1997년 이후로 6차 곡면이 가질 수 있는 특이점의 최대 개수가 65개임이 알려져 있었습니다.
1982년에 A. N. Varchenko가 7차 곡면은 많아야 104개의 특이점을 가진다는 것을 증명했습니다.
1992년에 Chmutov는 93개의 특이점을 가지는 7차 곡면을 만들었고 이것은 그 당시 최고 기록이었습니다. 현재까지는 Labs이 만든 이 곡면이 가장 많은 특이점을 가지는 7차 곡면으로 알려져 있습니다. 7차 곡면이 특이점을 100, 101, …, 104개를 가질 수 있는지 여부는 아직 알려지지 않았습니다.
Labs Septic은 정칠각형의 대칭성을 가집니다. 참고로 5개의 매개 변수를 가지면서 99개의 특이점을 가지는 곡면들의 모임도 있습니다
Oliver Lab은 이 곡면을 만들 때 독일에 있는 Kaiserslautern 대학에서 개발한 Singular라는 프로그램을 이용했습니다. 이 프로그램은 특이점을 가지는 대수곡면을 연구하는데 매우 유용합니다.
저작권 CC BY-NC-SA-3.0
공식
- S_5(x, y)+t(z) = 0\\ S_5(x, y) = x^5−10x^3y^2+5xy^4−5x^4−10x^2y^2− 5y^4+20x^2+20y^2−16\\ t(z) = −3z^5+10z^3−15z−8
Quintic with 15 cusps
이 5차 곡면은 15개의 특이점을 가집니다. 이 때 이 특이점들은 보통 뾰족점 또는 A2 유형이라 부릅니다. 이 곡면은 2005년에 Oliver Labs이 만든 곡면 중 하나입니다.
그림으로부터 알 수 있듯이 꽃 모양을 이루는 5개의 특이점이 다른 특이점들보다 눈에 들어옵니다. 이 5개의 특이점은 A2++ 유형이고 다른 특이점들은 A2+−유형입니다. 전자는 국소적으로 방정식 x3+y2+z2 = 0으로 표현되고 다른 특이점들은 방정식 x3+y2−z2 = 0으로 표현됩니다.
이 곡면을 정의하는 방정식은 S5(x, y)+t(z) = 0 입니다.
여기서 S5(x, y) = x5−10x3y2+5xy4−5x4−10x2y2−5y4+20x2+20y2−16는 정오각형을 표현하는 식이고
t(z) = −3z5+10z3−15z−8는 Tchebychev 다항식의 변형입니다.
저작권 CC BY-NC-SA-3.0