Diese Fläche vom Grad 6 (Sextik) hat Wolf Barth im Jahr 1996 konstruiert. Sie hat insgesamt 65 Singularitäten, wenn man die 15 nicht sichtbaren, unendlich fernen, mitzählt. Dies ist die maximal mögliche Anzahl von Singularitäten auf einer Sextik, wie schon 1997 Jaffe und Ruberman zeigten. Barths Konstruktion war eine große Überraschung, da lange vermutet wurde, dass Flächen vom Grad 6 nur 64 Singularitäten haben können. Auffällig ist, dass seine Sextik genau die Symmetrien eines Ikosaeders aufweist. Allerdings haben nicht alle Sextiken mit 65 Singularitäten die gleiche Symmetrie. Duco van Straten hat mit Hilfe von Computeralgebra sogar berechnet, dass es eine 3–Parameter–Familie solcher Flächen gibt; in dieser Familie kann man also drei Parameter nahezu beliebig wählen und erhält immer eine Sextik mit 65 Singularitäten. Die exakte Gleichung von Barths Fläche ist P6 − αK2 = 0, wobei P6 = ( τ2x2−y2)( τ2y2−z2)( τ2z2− x2), τ = 1/2(1+√5) der goldene Schnitt und α = 1/4(2τ+1)=1/4(2+√5), sowie K = x2+y2+z2−1 eine Kugeloberfläche mit Radius 1 beschreibt.

Im Rahmen seiner Dissertation konstruierte Oliver Labs in Mainz 2004 eine Fläche vom Grad 7 (Septik) mit 99 Singularitäten. Seit 1997 ist für Flächen vom Grad 6 bekannt, dass die maximal mögliche Anzahl von Singularitäten 65 ist. Im Grad 7 weiß man seit einem Resultat von A. N. Varchenko aus dem Jahr 1982 immerhin, dass es nicht mehr als 104 Singularitäten auf solch einer Fläche geben kann. Chmutov konstruierte 1992 eine Septik mit 93 Singularitäten und lieferte damit einen Weltrekord; seit der Konstruktion von Labs liegt dieser bei 99. Es ist offen, ob Septiken 100, 101, … , 104 Singularitäten haben können. Labs’ Fläche hat die Symmetrie eines regelmäßigen 7-Ecks. Aber man kann, ähnlich wie bei Duco van Stratens Berechnung für die Sextiken, berechnen, dass es sogar eine 5-Parameter-Familie von Septiken mit 99 Singularitäten gibt. Zur Konstruktion der Septik setzte Labs die an der TU Kaiserslautern entwickelte Computeralgebra Software Singular ein, die für das Arbeiten mit Singularitäten besonders geeignet ist.

Diese Fläche vom Grad 5 (Quintik) hat 15 Singularitäten, deren Typ gewöhnliche Spitze oder auch A2 genannt wird; sie ist Teil einer Serie verwandter Flächen, die Oliver Labs 2005 angegeben hat. Wie in der Abbildung erkennbar ist, sehen fünf der Singularitäten anders aus als die weiteren zehn. Die fünf sind nämlich genauer gesagt vom Typ A2++ , die anderen vom Typ A2+−; die ersteren kann man lokal beschreiben durch die Gleichung x3+y2+z2 = 0, die letzteren durch x3+y2−z2 = 0. Die Gleichung der Quintik mit 15 Spitzen ist S5(x, y)+t(z) = 0, wobei S5(x, y) = x5−10x3y2+5xy4−5x4−10x2y2−5y4+20x2+20y2−16 ein regelmäßiges Fünfeck beschreibt und das Polynom t(z) = −3z5+10z3−15z−8 eine Variante der sogenannten Tchebychev Polynome ist.

Gleichung von W. Barth (1995).

Visualisierung: Oliver Labs

Gleichung von E. E. Kummer (1860s).

Visualisierung: Oliver Labs

Klassische Gleichung aus dem XIX Jahrhundert, angepasst von Oliver Labs.

Visualisierung: Oliver Labs